TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO



Composição do Triângulo Retângulo

O triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno reto (igual a 90º). O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos.
Os valores do seno, do cosseno e da tangente são calculados em relação a um determinado ângulo agudo do triângulo retângulo.
De acordo com a posição dos catetos em relação ao ângulo, ele pode ser oposto ou adjacente, conforme imagem abaixo:
Trigonometria no Triângulo Retângulo

O triângulo retângulo é formado:
  • Catetos: são os lados do triângulo que formam o ângulo reto. São classificados em: cateto adjacente e cateto oposto.
  • Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto, sendo considerado o maior lado do triângulo retângulo.

Segundo o Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrado dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado de sua hipotenusa:
h2 = ca2 + co2

Relações Trigonométricas do Triângulo Retângulo


Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo são relações entre os lados de um triângulo retângulo. 
Essas relações são chamadas de razões trigonométricas, e as razões trigonométricas são as relações existentes entre os lados de um triângulo retângulo. 
As principais são o seno, o cosseno e a tangente.

seno
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.
cosseno
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.
tangente

Definidas as razões trigonométricas, obtemos as seguintes igualdades para o triangulo retângulo abaixo: 


Exemplo 1: Determine os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos ( em azul)
do triangulo abaixo.
Solução:



Exemplo 2: Sabendo que sen α = 1/2, determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo:
A hipotenusa do triângulo é x e o lado com medida conhecida é o cateto oposto ao ângulo α. Assim, temos que: 



Tabela Trigonométrica

Na tabela trigonométrica consta o valor de cada razão trigonométrica para os ângulos de 1º a 90º.
Os ângulos de 30º, 45º e 60º são os mais usados nos cálculos e por isso, eles são chamados de ângulos notáveis.
Relações Trigonométricas30°45°60°
Seno1/2√2/2√3/2
Cosseno√3/2√2/21/2
Tangente√3/31√3
Exercício 1: Determine o valor de x na figura abaixo.
Triângulo retângulo

Exercícios de Vestibular

1. (UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião?

2 . (Cefet-MG) O triângulo ABC é retângulo em A B com conjunção lógica sobrescrito C e os segmentos B D em moldura superior fecha moldura espaço e espaço A C em moldura superior fecha moldura são perpendiculares.
Seno questão cefet MG 2016
Assim, a medida do segmento D C em moldura superior fecha moldura vale
a parêntese direito espaço 10 raiz quadrada de 3 b parêntese direito espaço 6 raiz quadrada de 3 c parêntese direito espaço 15 sobre 2 d parêntese direito espaço 13 sobre 2
Gabarito:
1) Observe que temos a medida da hipotenusa (10 cm) e queremos descobrir a medida de x, que é o cateto oposto ao ângulo de 45º. Desta forma, aplicaremos a fórmula do seno.
De acordo com a tabela trigonométrica, o valor do seno de 45.º é aproximadamente igual a 0,7071. Assim:
s e n espaço 45 º igual a x sobre 10 0 vírgula 7071 igual a x sobre 10 x igual a 0 vírgula 7071.10 x igual a 7 vírgula 071
Portanto, o lado x mede 7,071 cm.

Gabarito:Exercícios de Vestibular

1) A imagem abaixo representa a situação indicada no problema:
Avião subindo
Pelo desenho, identificamos que a altura corresponde ao cateto oposto ao ângulo de 30º e que a distância percorrida pelo avião é a medida da hipotenusa.
Assim, para encontrar o valor da altura usaremos a fórmula do seno, ou seja:
s e n espaço 30 º igual a h sobre 1000 0 vírgula 5 igual a h sobre 1000 h igual a 0 vírgula 5. espaço 1000 h igual a 500 espaço m
A altura do avião será de 500 metros.

2) Considerando que os triângulos ABC, ADB e BDC são retângulos, então o ângulo A B com conjunção lógica sobrescrito D é igual a 30º. Com isso, o ângulo D B com conjunção lógica sobrescrito C é igual a 60º, conforme imagem abaixo:
Questão cefet mg ângulo
Assim, podemos calcular a medida do segmento D C em moldura superior fecha moldura usando para isso a fórmula do seno.
s e n espaço 60 º igual a numerador x sobre denominador 5 raiz quadrada de 3 fim da fração numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador x sobre denominador 5 raiz quadrada de 3 fim da fração 2 x igual a 5. raiz quadrada de 3. raiz quadrada de 3 x igual a 15 sobre 2