TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Composição do Triângulo Retângulo

O triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno reto (igual a 90º). O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos.

Os valores do seno, do cosseno e da tangente são calculados em relação a um determinado ângulo agudo do triângulo retângulo.

De acordo com a posição dos catetos em relação ao ângulo, ele pode ser oposto ou adjacente, conforme imagem abaixo:

O triângulo retângulo é formado:

• Catetos: são os lados do triângulo que formam o ângulo reto. São classificados em: cateto adjacente e cateto oposto.
• Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto, sendo considerado o maior lado do triângulo retângulo.

Segundo o Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrado dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado de sua hipotenusa:

h2 = ca2 + co2

Relações Trigonométricas do Triângulo Retângulo

Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo são relações entre os lados de um triângulo retângulo. 

Essas relações são chamadas de razões trigonométricas, e as razões trigonométricas são as relações existentes entre os lados de um triângulo retângulo. 

As principais são o seno, o cosseno e a tangente.

Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.

Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.

Definidas as razões trigonométricas, obtemos as seguintes igualdades para o triangulo retângulo abaixo: 

Exemplo 1: Determine os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos ( em azul)
do triangulo abaixo.

Solução:

Exemplo 2: Sabendo que sen α = 1/2, determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo:

A hipotenusa do triângulo é x e o lado com medida conhecida é o cateto oposto ao ângulo α. Assim, temos que: 

Tabela Trigonométrica

Na tabela trigonométrica consta o valor de cada razão trigonométrica para os ângulos de 1º a 90º.

Os ângulos de 30º, 45º e 60º são os mais usados nos cálculos e por isso, eles são chamados de ângulos notáveis.

Relações Trigonométricas	30°	45°	60°
Seno	1/2	√2/2	√3/2
Cosseno	√3/2	√2/2	1/2
Tangente	√3/3	1	√3

Exercício 1: Determine o valor de x na figura abaixo.

Exercícios de Vestibular

1. (UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião?

2 . (Cefet-MG) O triângulo ABC é retângulo em  e os segmentos  são perpendiculares.

Assim, a medida do segmento  vale

Gabarito:

1) Observe que temos a medida da hipotenusa (10 cm) e queremos descobrir a medida de x, que é o cateto oposto ao ângulo de 45º. Desta forma, aplicaremos a fórmula do seno.

De acordo com a tabela trigonométrica, o valor do seno de 45.º é aproximadamente igual a 0,7071. Assim:

Portanto, o lado x mede 7,071 cm.

Gabarito:Exercícios de Vestibular

1) A imagem abaixo representa a situação indicada no problema:

Pelo desenho, identificamos que a altura corresponde ao cateto oposto ao ângulo de 30º e que a distância percorrida pelo avião é a medida da hipotenusa.

Assim, para encontrar o valor da altura usaremos a fórmula do seno, ou seja:

A altura do avião será de 500 metros.

2) Considerando que os triângulos ABC, ADB e BDC são retângulos, então o ângulo  é igual a 30º. Com isso, o ângulo  é igual a 60º, conforme imagem abaixo:

Assim, podemos calcular a medida do segmento  usando para isso a fórmula do seno.